離散フーリエ変換の定義の話1
日記を付けるの忘れていました。。。まじめに勉強しなければ。。。
今日は、離散フーリエ変換について勉強したことを書きます。(^ω^)」
偏微分方程式(例えばL^2空間の熱方程式/シュレディンガー方程式)を解く際に便利なツールがフーリエ変換です。作法は様々ですが、僕はこの定義でやっています:
複素数関数fに対して
\[{\cal F}[f](x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-ixy}dy,\ x\in\mathbb{R}.\]
\[{\cal F}^{-1}[f](x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{ixy}dy,x\in\mathbb{R}\]
fの設定は今日は脇に置いておきます。(本来無視してわいけませんが。。)
で、本題なんですが制御工学理論においては信号と呼ばれる離散点列(例えば)に対してフーリエ変換を行う必要があります。(※必要があるというのも語弊がありますが。詳細はおいおい書きます。)
まずに対して、
\begin{eqnarray}
f(x):=\left\{
\begin{array}{l}
f(k), k\in\mathbb{Z} \\
0,\ oterwise\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
と定義します。これは離散信号の連続信号への拡張になっています。しかし、これを積分しても値は0にしかならない為、フーリエ変換の定義としては不適切です。
では、なんで値が0になってしまうかというと、殆どいたるところ0だからです。(イメージとしては積分は長方形による近似になるので、高さy(k)×横0=0なので0です。) そこで、関数fの値を以下の通り拡張します。
<準備>
任意のに対して、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{k}:=[k-\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}),\ k\geq 1\\
J_{k}:=(k-\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}],\ k\leq 0\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
<fの拡張>
ここで、任意のに対してあるが一意に存在し、xは区間に属することに注意すると。としてfの値を拡張することができる。
これを先ほどのフーリエ変換の式に代入します。
\begin{align}
{\cal F}[F](x)&= \int_{-\infty}^{\infty}F(y)e^{-ixy}dy\\
&= \int_{\cup_{k\in\mathbb{Z}}J_{k}\cup I_{k}}F(y)e^{-ixy}dy\\&=\sum_{k\leq 0}\int_{J_{k}}F(y)e^{-ixy}dy+\sum_{k\geq 1}\int_{I_{k}}F(y)e^{-iyx}dy\\&=\sum_{k\leq 0}f(k)e^{-ikx}+\sum_{k\geq 1}f(k)e^{-ikx}\\&=\sum_{k\in\mathbb{Z}}f(k)e^{-ikx}.
\end{align}
これで、離散点列に対してもフーリエ変換を定義することが出来そうです。
離散点列の離散時間フーリエ変換を以下で定義する。
\[DTFT[f](x):=\sum_{k\in\mathbb{Z}}f(k)e^{-ikx}.\]
ここでDTFTとはDiscreteTimeFourierTransformの略です。
とまあこんな感じです。ざっくり書きすぎたなあ。。。
今日はこんなところで
<参考文献>
今日から一歩踏み出そう。。。
今日から
足立修一・丸太一郎著 「カルマンフィルタの基礎」
を読んでいきたい。
本書は、離散時間(n=1,2,3,4...)カルマンフィルターの易しい入門書であるとのこと。
]